Единице соответствует 3018
2 -"– 6036
3 -"– 9054
4 -"– 12 072 и т.д.
То же можно утверждать о степенях этого числа, с тем различием, что дистанция между ними будет все более возрастать.
Единице соответствует 3 018
2 -"– 3 018? (9 108 324)
3 -"– 3 018? и так далее.
Гениальное признание этих фактов вдохновило философа на формулу, что бесконечное множество – например, ряд натуральных чисел – есть множество, члены которого могут в свой черед раздваиваться на бесконечные ряды. На подобных высоких широтах счисления часть не менее обильна, чем целое: точное количество точек, имеющихся во Вселенной, равно тому, которое имеется в одном метре Вселенной, или в одном дециметре, или в самой огромной траектории звезды. Задача Ахилла оказывается включенной в этот героический ответ. Каждое место, занятое черепахой, сохраняет пропорциональное отношение с местом, которое занято Ахиллом, и скрупулезного соответствия, точка к точке, обоих симметричных рядов достаточно, чтобы объявить их равными. Не остается никакого периодического остатка начальной форы, данной черепахе: конечная точка ее пути, конечная точка пути Ахилла и конечная точка времени состязания – математически совпадают. Таково решение Рассела. Не оспаривая техническое превосходство противника, Джеймс все же предпочитает не соглашаться. Заявления Рассела (пишет Джеймс) уклоняются от истинной трудности, касающейся категории бесконечного «растущее», а не категории «постоянное», – Рассел имеет в виду только последнюю, предполагая, что путь уже пройден и что задача состоит в том, чтобы уравновесить обе траектории. Между тем обе они не уточняются: определение пути каждого из бегунов или просто промежутка затраченного времени связано с трудностью достижения некой цели, когда каждый предыдущий интервал возникает раз за разом и перекрывает путь («Some problems of Philosophy», 1911, стр. 181).
Я подошел к концу моей заметки, но не наших размышлений. Парадокс Зенона Элейского, как указал Джеймс, покушается не только на реальность пространства, но и на самую неуязвимую и тонкую реальность времени. Добавлю, что жизнь в физическом теле, неподвижное пребывание, текучесть каждого дня жизни восстают против такой опасности. Подобный беспорядок вносится посредством одного слова «бесконечное», слова (а за ним и понятия), внушающего тревогу, которое мы отважно произносим и которое, превратившись в мысль, взрывается и убивает ее (существуют другие древние кары за общение со столь коварным словом – есть китайская легенда о скипетре императоров Лянь, который укорачивается с каждым новым правителем наполовину: изувеченный многими династиями, скипетр этот существует и поныне). Мое мнение, после приведенных мною столь квалифицированных суждений, подвержено двойному риску показаться дерзким и тривиальным. Все же я его выскажу: парадокс Зенона неопровержим, разве что мы признаем идеальную природу пространства и времени. Так признаем же идеализм, признаем же конкретное увличение воспринимаемого, и мы избегнем головокружительного умножения бездн этого парадокса.
Поколебать нашу концепцию Вселенной из-за этой крохи греческого невежества? – спросит мой читатель.
Аватары черепахи
Существует понятие, искажающее и обесценивающее другие понятия. Речь идет не о Зле, чьи владения ограничены этикой; речь идет о бесконечности. Однажды я загорелся составлением истории ее жизни. Ее храм должна была удачно обезобразить многоголовая Гидра (омерзительное чудовище, прообраз или знак геометрических прогрессий); здание увенчали бы зловещие кошмары Кафки, а в центральных колоннах узнавалась бы гипотеза того далекого немецкого кардинала – Николая Кребса, Николая Кузанского, – считавшего окружность многоугольником с бесконечным числом сторон и записавшего, что бесконечная линия может быть прямой, треугольником, кругом и сферой («De docta ignorantia», 1, 13). Быть может, лет пять – семь метафизических, богословских и математических штудий и способствовали бы подготовке солидного труда. Нужно ли напоминать, что жизнь не оставляет мне ни такой надежды, ни даже такого прилагательного.
Моя заметка в каком-то смысле принадлежит воображаемой «Биографии бесконечного». Ее цель – обозначить некоторые аватары второго парадокса Зенона.
А теперь обратимся к парадоксу.
Ахиллес бегает в десять раз быстрее черепахи; он дает ей фору в десять метров. Ахиллес пробегает эти десять метров, черепаха – один метр; Ахиллес пробегает этот метр, черепаха – дециметр; Ахиллес пробегает дециметр, черепаха – сантиметр; Ахиллес пробегает сантиметр, черепаха – миллиметр; и этот миллиметр пробегает Ахиллес Быстроногий, но черепаха успевает пройти десятую долю миллиметра, и так далее, так и не догоняя... Такова общепринятая версия. Вильгельм Капель («Die Vorsokratiken», 1935, с. 178) переводит с аристотелевского оригинала: «Второй аргумент – так называемый „Ахиллес“. Он гласит, что самый быстрый бегун не догонит самого медленного, так как необходимо, чтобы догоняющий прежде достиг той точки, откуда стартовал убегающий, поэтому медленный бегун по необходимости всегда должен быть чуть впереди». Как видим, условие не меняется; но все же хотелось бы знать, как звали того поэта, который ввел героя и черепаху. Ведь сюжет обязан своей популярностью именно этим чудесным соперникам и ряду:
10 + 1 + 1/10 + 1/100 + 1/100 + ...
Почти никто не помнит другой, ему предшествующий сюжет – о беговой дорожке, хотя их схемы идентичны. Движение невозможно (заявляет Зенон), ибо для достижения цели движущийся объект должен пересечь половину расстояния, а до того – половину половины, а еще раньше – половину той половины, а перед тем...
Сообщением и первым опровержением этих доказательств мы обязаны перу Аристотеля. Аристотель оспаривает их кратко (возможно, брезгливо), однако память о них подсказывает ему знаменитый аргумент «третьего человека» против платоновской доктрины. Согласно доктрине, две особи, обладающие общими признаками (допустим, два человека), – это самые обыкновенные и преходящие подобия вечного архетипа. Аристотель задается вопросом, есть ли у людей и человека – преходящих особей и архетипа – общие признаки. Разумеется, да; они обладают общечеловеческими признаками. Тогда, утверждает Аристотель, следует определить второй архетип, их объединяющий, а затем третий...
В примечании к выполненному им переводу «Метафизики» Патрисио де Аскарате приписывает одному ученику Аристотеля следующее утверждение: «Если то что утверждается о многом, есть в то же время нечто отдельное, отличное от того, о чем утверждается (именно так и рассуждают платоники), должен существовать некто третий . Это определение применяют к видам и к идее. Таким образом, существует некто третий, отличный от конкретных видов и идеи. В то же время существует некто четвертый, находящийся в той же связи с третьим и с идеей конкретных видов. Затем пятый, и так до бесконечности». Возьмем два вида, а и b , входящих в род с . Тогда имеем:
а + b = с.
Но, по Аристотелю, верно также:
a + b + c = d,
a + b + c + d = e,
a + b + c + d + e = f...
Строго говоря, не нужно и двух видов; достаточно одного вида и рода, чтобы определить третьего человека , заявленного у Аристотеля. Зенон Элейский обращается к бесконечной регрессии, дабы опровергнуть движение и число; его оппонент – дабы опровергнуть универсальные формы.
Следующая аватара Зенона, отмеченная в моих разданных заметках, – скептик Агриппа. Он отрицает возможность любого доказательства, ибо оно требует предварительного доказательства («Hypotyposes», I, 166). Сходным образом Секст Эмпирик утверждает, что определения бессмысленны, поскольку вначале следовало бы определить понятия, входящие в определения, следовательно, определить определение («Hypotyposes», II, 207). Спустя тысячу шестьсот лет в посвящении к «Дон Жуану» Байрон напишет о Колридже: «I wish he would explain His Explanation»5.
До сих пор regressus in infinitum служила для отрицания, святой Фома Аквинский прибегает к ней («Summa Theologica», I, 2, 3) для доказательства бытия Божия. Он говорит: в мире нет ничего, что не имело бы своей первоначальной причины, а эта причина, ясное дело,– следствие другой, ей предшествующей причины. Мир – это нескончаемая цепь причин, и каждая причина – это следствие. Каждое состояние происходит из предыдущего состояния и определяет последующее, однако весь ряд может быть фикцией, поскольку члены, его образующие, условны, или, скажем так, случайны. Мир, разумеется, существует; отсюда можно вывести неслучайную первопричину, которая и будет Богом. Таково космологическое доказательство – оно предвосхищается у Аристотеля и Платона; Лейбниц открывает его заново.
Герман Лотце ссылается на regressus, с тем чтобы не согласиться, будто изменение объекта А может повлечь за собой изменение объекта В. Он считает, что, если А и В независимы, утверждать воздействие А на В – значит утверждать третий элемент С, которому, в свою очередь, для того, чтобы влиять на В, потребуется четвертый элемент – D, воздействие которого невозможно без Е, воздействие которого невозможно без F... Дабы уйти от этих множащихся призраков, он решает, что в мире есть лишь один объект: бесконечная и абсолютная субстанция, сравнимая с Богом Спинозы. Преходящие причины сводятся к имманентным; события – к проявлениям либо ипостасям космической субстанции.
Аналогичен – однако и более жуток – случай Ф. Г. Брэдли. Этому мыслителю («Appearance and Reality», 1897, с. 19—34) мало опровергнуть причинные отношения, он отрицает возможность любых отношений. Он спрашивает, обусловлены ли отношения своими понятиями. Ему отвечают, что да, а это означает, что существуют два других отношения и затем еще два. В аксиоме «часть меньше целого» он видит не два понятия и отношение «меньше»; он видит три («часть»; «меньше»; «целое»), причем отношения между ними подразумевают два других отношения, и так до бесконечности. В суждении «Хуан – существо смертное» он видит четыре несочетаемых понятия (четвертое – опущенная связка), которые нам никогда друг с другом не согласовать. Все понятия он превращает в изолированные, непроницаемые объекты. Опровергать его – все равно, что унижаться до нереальности.
Лотце располагает периодические провалы Зенона меж причиной и следствием; Брэдли – меж подлежащим и сказуемым, если не меж подлежащим и его определениями; Льюис Кэррол («Mind», т. 4, с. 278) – меж второй посылкой силлогизма и заключением. Он передает бесконечный диалог, собеседники которого – Ахиллес и черепаха. Достигнув финиша на нескончаемых бегах, атлеты мирно беседуют о геометрии. Они изучают стройное умозаключение:
a ) две вещи, тождественные третьей, тождественны меж собой;
b ) обе стороны данного треугольника тождественны MN ;
z ) обе стороны данного треугольника тождественны меж собой.
Черепаха принимает посылки а и b , но отказывается признать, что из них следует приведенное умозаключение.
Тогда Ахиллес вводит условную посылку:
a ) две вещи, тождественные третьей, тождественны меж собой;
b ) обе стороны данного треугольника тождественны MN ;
c ) если а и b истинно, z истинно;
z ) обе стороны данного треугольника тождественны меж собой.
После краткого разъяснения черепаха соглашается с истинностью а , b и c , но отвергает z . Разгневанный Ахиллес добавляет:
d ) если а , b и c истинно, z истинно. По Кэрролу, парадокс грека приводит к бесконечному ряду убывающих расстояний, а в его парадоксе расстояния возрастают.
Последний пример наиболее изящен и наименее отнчен от зеноновского. Вильям Джеймс («Some Problems of Philosophy», 1911, с. 182) отрицает, что может пройти четырнадцать минут, поскольку до этого пройдут семь, а до семи – три с половиной, а до трех с половиной – минута и три четверти, и так до конца, до неуловимого конца, затерянного в тончайших лабиринтах времени.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15